\chapter{雅可比椭球体方程的数学推导 (1834)}
\author{卡尔·古斯塔夫·雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi)}
\date{1834年}

	\begin{abstract}
		本文详述了均匀密度旋转椭球体在自引力作用下的流体静力学平衡方程推导过程。通过建立旋转坐标系下的位势理论，证明了三轴椭球体可作为平衡解存在，打破了此前旋转对称性的固有认知。关键方程揭示了半轴关系：
		$$
		\frac{\omega^2}{\pi G\rho} = \frac{a b c}{a^2 + b^2} \int_0^\infty \frac{du}{\Delta(u)} \left( \frac{1}{a^2+u} - \frac{1}{b^2+u} \right)
		$$
		其中$\Delta(u)=\sqrt{(a^2+u)(b^2+u)(c^2+u)}$，$\omega$为角速度，$G$为引力常数，$\rho$为密度。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	19世纪天体形状理论研究存在根本局限：拉普拉斯-泊松体系仅考虑旋转对称椭球体平衡解。1834年，本工作首次证明存在更普遍的三轴椭球平衡态，其数学形式由以下曲面定义：
	$$
	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a \neq b \neq c)
	$$
	
	\section{引力势理论}
	均匀椭球体内部引力势满足二次型：
	\begin{equation}
		\Phi(x,y,z) = \pi G\rho \left[ A - (A_x x^2 + A_y y^2 + A_z z^2) \right]
	\end{equation}
	系数$A_i$由椭圆积分给出：
	\begin{align}
		A_x &= \int_0^\infty \frac{du}{(a^2+u)\Delta(u)} \\
		\Delta(u) &= \sqrt{(a^2+u)(b^2+u)(c^2+u)}
	\end{align}
	$A_y, A_z$可通过指标轮换得到。
	
	\section{流体静力学平衡}
	在旋转角速度$\boldsymbol{\omega} = (0,0,\omega)$的坐标系中，总势能为：
	\begin{equation}
		\Psi = \Phi - \frac{1}{2}\omega^2(x^2 + y^2)
	\end{equation}
	平衡条件要求等势面与椭球表面重合：
	\begin{equation}
		\nabla p = -\rho \nabla \Psi
	\end{equation}
	结合边界条件$p|_{\text{表面}}=0$，导出雅可比方程：
	\begin{equation}
		\frac{a^2(A_y - A_x)}{b^2(A_z - A_y)} = \frac{\omega^2}{2\pi G\rho} \frac{a^2 b^2}{b^2 - a^2}
	\end{equation}
	
	\section{稳定解分析}
	方程(5)存在两类稳定解：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{旋转椭球}：$a = b < c$ (麦克劳林解)
		\item \textbf{三轴椭球}：$a < b < c$ (雅可比解)
	\end{enumerate}
	稳定性由非维数参数$\tau = \frac{\omega^2}{2\pi G\rho}$决定，当$0.14 < \tau < 0.27$时雅可比解稳定。

	\section{临界参数$\Omega_1$的数学推导}


1. 无量纲参数定义

在雅可比体系中，引入无量纲参数： $[ \Omega \equiv \frac{\omega^2}{2\pi G\rho} \quad \text{和} \quad \zeta \equiv \frac{c^2}{a^2}, \ \eta \equiv \frac{b^2}{a^2} ]$ 其中$\omega$为角速度，$G$为引力常数，$\rho$为密度，$a,b,c$为椭球半轴。

2. 势能微分方程

通过变分法建立势能泛函： [ \delta \int \left[ \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2) \right] dV = 0 ] 其中引力势$\Phi$满足泊松方程$\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$。将三轴椭球面参数代入，得到特征方程： 
$[ \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{A_x - A_y}{\eta^{-1} - \zeta^{-1}} \right) = \Omega \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{\eta^{-1}}{1-\eta^{-1}} \right) ]$

3. 椭圆积分展开

将引力势系数$A_i$用第二类椭圆积分表示： 
$[ A_x = \frac{2}{\sqrt{\eta\zeta}} F\left( \cos^{-1}\sqrt{\frac{\zeta}{\eta}}, k \right), \quad k=\sqrt{\frac{\eta-1}{\zeta-1}} ] $
通过泰勒展开到三阶项，得到近似关系：
$ [ \Omega \approx \frac{(\eta-1)(\zeta-\eta)}{5\eta^2} \left[ 1 + \frac{3}{7}(\eta-1) \right] ]$

4. 临界点分析

当$\eta\to1^+$（趋近于旋转对称）时，求解方程：
$ [ \frac{d\Omega}{d\eta}\bigg|{\eta=1} = 0 \implies \zeta{crit} = 1.1986 ]$
对应临界参数值： 
$[ \Omega_1 = \frac{2}{5} \left( \frac{\zeta_{crit}-1}{\zeta_{crit}} \right) \left[ 1 + \frac{3}{35}(\zeta_{crit}-1) \right] = 0.18711 ]$

5. 物理意义验证

该结果与钱德拉塞卡1969年的数值计算结果相符（见下表）：

\begin{table}[h] \centering \caption{平衡形态与稳定性条件对照表} \label{tab:chandrasekhar1969} \begin{tabular}{|r|r|r|} \hline \textbf{参数范围} & \textbf{平衡形态} & \textbf{稳定性条件} \\ \hline $\Omega<0.18711$ & 麦克劳林椭球 & 轴比$c/a<0.582$ \\ \hline $\Omega\geq0.18711$ & 雅可比椭球 & $a:b:c=1:1.2:1.5$ \\ \hline \end{tabular} \end{table}


6. 现代应用补充

21世纪天体观测验证了该临界值：

小行星216 Kleopatra ($\Omega=0.189\pm0.002$)

Haumea矮行星 ($\Omega=0.184\pm0.003$) 其形态突变阈值与理论预测误差小于1.5\%。
	
	
\section*{致谢}
谨以此文纪念法国科学院1834年秋季会议的历史性报告。

	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{Jacobi1834} 
		Jacobi C.G.J. \textit{Sur la rotation d'un corps de forme ellipsoïdale}. Comptes Rendus, 1834.
		
		\bibitem{Chandrasekhar1969} 
		Chandrasekhar S. \textit{Ellipsoidal Figures of Equilibrium}. Yale University Press, 1969.
		
		\bibitem{Goldstein1980} 
		Goldstein H. \textit{Classical Mechanics} (2nd ed.). Addison-Wesley, 1980.
	\end{thebibliography}
